В настоящей статье мы остановимся на кратком описании наших общих взглядов на математическое образование и отразим основные параметры нового курса "Геометрия 6-9".

I. Общая характеристика этапов школьного математического образования.

1. Следует констатировать, что в настоящее время происходит бурное развитие начальной школы вообще, а также содержания и методики преподавания математики на этом этапе. Создано и внедряется новое поколение учебников (В.В.Давыдов, Н.Б.Истомина, Л.Г.Петерсон, Л.В.Тарасов и др.).

Нас в данной статье интересует геометрический материал в этих учебниках, его место, роль, объем содержания и т.д. Следует отметить, что практически во всех этих учебниках предусматривается достаточно широкое знакомство учащихся с элементами геометрических знаний, умений, представлений. Отметим, что пока трудно фиксировать уровень геометрической подготовки этой категории учащихся, он сложится не скоро и может быть достаточно различным по своим результатам. Ясно одно - начальная школа может и должна способствовать становлению геометрической культуры учащихся и минимум этих представлений должен быть четко зафиксирован.

Есть одна закономерность, и она нас радует - появление пространственных объектов, обсуждение их свойств и взаимосвязей с окружающим миром. Кроме этого, стоит констатировать, что именно геометрический материал выступает в качестве одного из основных звеньев достижения развивающего эффекта обучения.

2. Традиционно после различного рода по продолжительности и уровню начального образования наступает так называемый пропедевтический этап - 5-6 классы (обратите внимание, что этот этап родился в период общего 11-летнего образования и выполнил определенные функции общей политехнической школы, например, ликвидировал недостатки и простои в начальном образовании и готовил к систематическим курсам в 7-11 классах). Нужен ли этот этап в современной школе? Каким он должен быть? Однозначного ответа нет, но ясно одно, что в настоящее время школа стала другой и такой двухлетней разминки (а вернее тормоза) просто не нужно. В этом отношении ведутся эксперименты: в некоторых школах 5 класс пытаются отдать начальной школе, создаются отдельные учебники по геометрии, арифметике, наглядной геометрии и т.д. В модели "Экология и диалектика" предусмотрено создание двух предметов для 5 класса: "Число и окружающий мир" и "Геометрия окружающего мира".

Геометрический материал, изучаемый в 5 классе, призван, во-первых, развивать общие геометрические представления учащихся, во-вторых, подготовить их к дальнейшему систематическому изучению геометрии, в-третьих, показать роль геометрических знаний в познании мира. Отметим, что наш курс "Геометрия 6-9" на первых порах может заменить курс "Геометрия окружающего мира" 5-го класса (при соответствующей методике изучения) и превратиться в непрерывный курс "Геометрия 5-9".

3. Важнейшим этапом всего математического образования и тем более основной школы является обучение в 6-9 классах (именно 6-9, а не 7-9, т.к. для базового образования, которое должна дать основная школа всем учащимся, трех лет мало). Именно для этого этапа создается курс "Геометрия 6-9" (параллельно курс "Алгебра 6-9", автор - профессор А.Г.Мордкович).

Курс "Геометрия 6-9", который, опираясь на геометрические представления, полученные учащимся с 1 по 5 классы, должен обеспечить овладение всеми учащимися основными знаниями и умениями, зафиксированными в существующих временных стандартах математического образования традиционной школы (1-11 классы), а также продолжить работу по развитию учащихся, выявлению у них индивидуальных особенностей, помочь определить им дальнейший путь (пути) образования и трудовой деятельности. Кроме этого базовый курс призван решить многочисленные проблемы реализации межпредметных связей и познание окружающего мира.

4. Огромные изменения претерпела школа в старшем звене, появилось множество различных школ, комплексов, специализированных классов и т.д. Кроме этого существует достаточно значительная часть учащихся, которая либо прервет на этом этапе свое образование, либо вообще его закончит. Все это заставляет смотреть на 10-11 классы вовсе не как на непрерывное продолжение образования 6-9, к чему мы так привыкли.

Итак, продолжение геометрического образования в старших классах происходит в соответствии с интересами учащихся и профилем обучения.

Следует иметь в виду, что наш курс "Геометрия 6-9" может в школах, где не планируется никаких профильных классов в старшем звене, трансформироваться в курс "Геометрия 6-11" или "Геометрия 7-11", что сейчас иногда и делается (в дальнейшем будет понятна целесообразность таких экспериментов).

II. Основная стратегия изучения курса
"Геометрия 6-9"; "Я в пространстве ..."

Курс геометрии в средней школе традиционно состоит из двух основных разделов: планиметрии, изучающей плоские фигуры и их свойства, и стереометрии, изучающей пространственные фигуры и их свойства. Такой подход к построению школьного курса геометрии имеет как положительные, так и отрицательные стороны.

Перечислим некоторые отрицательные моменты:

• геометрия - наука, опирающаяся на наглядность, возникшая из опыта человека, из его наблюдений за окружающим миром, в ко-
  тором нет ни одного плоского объекта, изучаемого планиметрией;

• при раздельном изучении планиметрии и стереометрии очень много повторов, очень много дублирования;

• раздельное изучение свойств фигур на плоскости и в пространстве не позволяет ученику увидеть многих общих закономерностей геометрии, ему представляется, что планиметрия и стереометрия это две различные науки;

• приложения планиметрии достаточно искусственны или упрощены, они не в достаточной мере отражают связь геометрии с окружающим миром, тем более, что многое об окружающем мире изучается достаточно рано, параллельно с курсом геометрии 5-9 классов;

• многие задачи, связанные с измерениями геометрических величин или с измерениями на местности, развертками или конструированием многогранников и т.д., решаются традиционно в таком возрасте, когда это совершенно неестественно, неинтересно и не нужно;

• в настоящее время многие учащиеся завершают или прерывают математическое образование в 9 классе, а изучением пространства и всех окружающих нас объектов традиционно начинают заниматься с 10 класса. Это приводит к тому, что базовое образование не дает необходимого эффекта для развития личности ученика, не готовит его к жизни, к практической деятельности;

• изучаемый в основной школе курс черчения не имеет никакой поддержки, и о чем там говорится, иногда совершенно непонятно учащимся. Это же относится и к взаимосвязям с курсами физики, географии, химии, где не может быть планиметрических образов, так как эти предметы заняты изучением свойств окружающего нас мира, а он трехмерен.

Некоторые положительные стороны традиционного изучения геометрии состоят в следующем:

• учащимся трудно изображать пространственные объекты, а соответствующих средств наглядности в школах пока недостаточно;

• раздельное изучение геометрии идет долго, 7 лет, и ученик, медленно работающий, может более успешно изучать отдельные темы;

• взаимосвязанное изучение свойств плоских и пространственных фигур выдвигает рассмотрение многочисленных возможностей их взаимного расположения, что иногда вызывает трудности у ученика (это обстоятельство для многих учащихся становится положительной стороной обучения).

Наш опыт показывает, что убедительно побеждают плюсы совместного изучения свойств геометрических фигур на плоскости и в пространстве. Обратим внимание на то, что за последнее время в различных вариантах учебников для начальной школы, во-первых,
помещается все больше геометрического материала вообще, во-вторых, среди этого материала преобладает изучение свойств фигур в пространстве. Было бы странно отбросить все эти попытки (эксперименты подтверждают их успешность) и перейти к изучению свойств только плоских фигур.

Возникает основная методическая линия курса геометрии - взаимосвязанное изучение свойств плоских и пространственных фигур.

Плоские фигуры и их свойства чаще всего изучаются не сами по себе, а как части пространственных геометрических фигур. В связи с этим возникает комплексный подход к изучению этих свойств, продиктованный единственным основанием - взаимным расположением объектов в окружающем нас мире (с позиций геометрии).

В настоящее время уже разработана вся указанная в этом разделе методология (издано 6 из 8 частей учебника). Трехлетний эксперимент в разных классах и школах показывает жизненность этой стратегии.

III. Дифференциация отбора содержания, изложения и изучения учебного материала.

1. Учебник для ученика. Очень кратко расшифруем этот тезис. Наши учебники по математике (особенно по геометрии) никогда не были адресованы ученику. Всегда учитель долго их прорабатывал (читал литературу, посещал различные курсы и лекции и т.д.) и только после этого предлагал учебный материал ученику. Представить себе ситуацию, при которой ученик сам открывал существующие учебники и с интересом и удовольствием их читал, просто невозможно. Это очень сложная проблема. Вместе с тем мы пытаемся ее решать, и эксперимент показывает, что это в определенной мере удается (дальнейшая работа над учебником должна способствовать решению этой проблемы).

Итак, наш учебник создается прежде всего для ученика и его родителей, а затем уже для учителя (учитель получает разъяснения и
методику через пособия для учителя).

2. Учет индивидуальных способностей учащихся.

Курс "Геометрия 6-9" должен быть направлен на всестороннее индивидуальное развитие учащихся с учетом их способностей и возможностей. С этой целью учебник по геометрии содержит:

• теоретический материал с четко выделенным обязательным объемом изучаемых вопросов, являющихся обязательными для изучения и усвоения всеми учащимися (он выделяется сплошной чертой на полях учебника с левой стороны);

• дополнительный теоретический материал, позволяющий обеспечить развивающее и углубленное обучение;

• задачный материал, гарантирующий прочное усвоение базовых знаний;

• систему проблемных вопросов, творческих задач и исследовательских заданий, позволяющих учащимся удовлетворять свои потребности в более глубоком познании геометрического материала, а также задачи межпредметного содержания;

• исторические материалы, связанные с изучением соответствующих тем курса, и т.д.

Курс должен подаваться так, чтобы никому не пришло в голову ограничиться уровнем "минимальной планируемой подготовки учащихся", чтобы учебный материал стимулировал учебную деятельность учащихся, способствовал мотивации обучения.

Традиционно в нашей школе в качестве основной цели было - "всем все и от всех все". Ясно, что этот лозунг невыполним. В рамках модели "Экология и диалектика" рождается методическая установка - "всем много, а от каждого свое". Эта установка реальна, но
заставляет серьезно подумать о методике обучения и о возможностях познать личность ученика во всем ее многообразии.

3. Приобщение учащихся к пониманию и изучению окружающего мира.

Традиционно геометрический материал широко использовался для логического развития учащихся, и это частично удавалось. Вместе с тем геометрия и геометрический материал должны помочь ученику познать окружающий мир. Эта проблема или не решалась вообще (в рамках учебников), или решалась очень слабо.

В модели "Экология и диалектика" курс "Геометрия 6-9" должен способствовать осознанию всеми учащимися общей картины мира, его устройства, возможностей его изучения с использованием геометрических знаний. Материал курса "Геометрия 6-9" развивает знания учащихся, полученные ими в курсе "Геометрия окружающего мира" в 5-м классе, и на этой базе позволяет совместно с курсами "Окружающий мир" и "Закономерности окружающего мира" продолжить познание окружающего мира.

Здесь решается еще одна новая методическая проблема - изучение геометрического материала в базовом курсе не ради самого себя, а для показа его средствами устройства окружающего мира.

Не следует трактовать эту проблему как снижение роли геометрии, наоборот, эта роль для ученика резко возрастает. Что же касается изучения глубинных основ геометрии, то это дело школ и классов с углубленным изучением математики и любых форм внеклассной работы (в этом отношении у нас есть огромный положительный опыт).

4. Формирование мышления учащихся.

Курс "Геометрия 6-9" имеет большие возможности для формирования мыслительной деятельности всех учащихся. При этом традиционно в погоне за объемом получаемых знаний этот эффект явно не срабатывал. Курс "Геометрия 6-9" ставит своей целью направленное формирование умственного развития учащихся через отработку конкретных приемов умственной деятельности: прежде всего синтеза и анализа, затем абстрагирования, сравнения, обобщения и аналогии. Все сказанное должно приводить к формированию дедуктивного мышления (в его индивидуальных проявлениях), без которого невозможно формирование полноценной человеческой личности.

Эти две группы упражнений - "устный счет в геометрии", они закладывают основу всех мыслительных процессов, всех рассуждений и доказательств.

Следующие две группы задач - это: С - задачи на уровне стандартов образования и У - учебные задачи. Эти группы задач содержат достаточно традиционные задачи, призванные обеспечить нужный уровень усвоения знаний (ясно, что внутри группы У есть своя дифференциация).

К каждому разделу учебника имеется еще две группы задач, они обозначены значками Т и И . Вот что о них написано в учеб-
нике для учащихся.

Т - так обозначается группа задач, которые имеют более высокий уровень, их принято называть трудными. Суть этих задач со-
стоит в том, что для их решения нужно выдвинуть некоторую идею (или несколько идей), при этом уровень трудности будет зависеть от "уровня идеи" (если это ссылка на теорему курса, то это не очень трудно, а если это новая идея, то это уже высокий уровень). Знак Т включает в себя букву Т - это первая буква слова "творчество", а задачи можно назвать творческими.

И - последняя группа задач (или заданий), которых будет не очень много; они требуют для своего решения существенных усилий и связаны с проведением некоторого небольшого исследования (иногда это исследование может связывать различные темы курса и даже различных курсов). Такие задачи-задания не могут полностью решаться в классе, а предполагают работу дома (возможно, не одного, а нескольких учеников). Буква И - это первая буква слова "исследование", а суть этих задач -исследовательские задания.

Подробнее о формировании мышления учащихся и о механизмах этого формирования можно прочитать в книге: Гусев В.А. Как помочь ученику полюбить математику. М.: Авангард, 1994.

5. Обсуждаем, рассуждаем, доказываем.

Все обучение должно начинаться с обсуждения увиденного (явления природы, картины, рисунки, модели, детали и т.д.). В этой связи приходится решать извечную проблему - роль наглядности в обучении.

Курс "Геометрия 6-9" выдвигает на первое место положения наглядного изучения. Логика выступает как средство подтверждения наглядности и практической значимости, а не наоборот.

Реализацией этого принципа изложения учебного материала является большое число рисунков, помогающих усвоению материала, а также показ динамики развития построения, наблюдения, рассуждения, так как один рисунок, на котором изображены все этапы решения (построения или доказательства), не дает нужного эффекта.

Формируя цели обучения математике, много говорят о важности математической, интуиции (и интуиции вообще) и геометрического воображения в формировании личности учащихся. Курс "Геометрия 6-9" должен активно развивать эти качества личности, сделать так, чтобы они распространялись на всю деятельность учащихся.

Есть еще одно удивительное качество личности, называемое любознательностью (или любопытством), и мы пытаемся использовать все средства, чтобы пробудить это чувство и различные его проявления. С этой целью на полях учебника появляются значки ? и ! , которые заставляют задуматься над изучением материала и фиксируют особо важные факты.

Изучение геометрии должно формировать у школьника умение отстаивать или доказывать свою точку зрения, а для этого следует привить учащимся правильное представление о доказательстве, о нахождении оптимального варианта решения задачи. Традиционно мы доказывали очень много теорем, но, к сожалению, это было чаще разучиванием или запоминанием "чужого доказательства". Целью нашего курса является показ необходимости проведения доказательства и формирование потребности в его проведении, обучение некоторым основным методам (приемам) доказательств, а также стремление к самостоятельному поиску и проведению доказательств. В течение последних десятилетий мы убедились в том, что раннее введение строгого дедуктивного изложения геометрического материала мало эффективно даже для способных к математике учащихся, вместе с тем полное отсутствие элементов дедукции также не дает желаемого результата. Мы выбираем так называемый "локально-дедуктивный стиль" изложения, позволяющий на доступном уровне приучать учащихся к точности, ясности и краткости выражения своих мыслей, к умению отстаивать и обосновывать свои позиции.

В курсе "Геометрия 6-9" мы не стремимся к доказательству очень большого числа теорем, а также допускаем, что некоторая часть учащихся может не воспроизводить часть доказательств. Но доказательства, которые мы проводим, идут с полным обоснованием (в рамках структуры и стиля учебника), на это нацеливает и само оформление этих доказательств.

6. Структура курса.

Говоря о структуре курса геометрии, мы будем ее описывать, исходя из четырехлетнего срока обучения (мы уже говорили, что сроки изучения этого содержания могут быть изменены).

Основная стратегия отбора содержания - взаимное расположение объектов в окружающем нас мире и в геометрии.

Первый год обучения (6 класс)

Глава 1. Геометрические фигуры. В этой главе, которая занимает практически весь первый год обучения, формируются представления о фигурах как множестве точек, рассматриваются первые геометрические фигуры и их взаимное расположение: точки и прямые, плоскости, взаимное расположение фигур и плоскостей, отрезки, измерение отрезков, расстояние между фигурами, ломаные, лучи. При этом все эти фигуры рассматриваются как элементы пространства, например, ломаные, состоящие из ребер куба или ребер других многогранников, расположение четырех точек на плоскости и в пространстве и т.д. Большая часть этой главы посвящена изучению углов. Основная особенность состоит в том, что мы знакомим учащихся не только с понятием угла, но и с понятием многогранного угла, которое появляется в связи с рассмотрением взаимного расположения лучей в пространстве. Появление многогранного угла позволяет начать изучение многогранников, в частности, пирамиды.

Глава 2. Симметрии и равенство фигур. Эта небольшая глава подводит первые итоги многочисленным наблюдениям учащихся. Здесь вычленяются фигуры, которые называют равными, и показываются примеры различных симметрий: центральной симметрии,
осевой симметрии, зеркальной симметрии (отметим, что в предыдущей главе рассмотрены первые представления о повороте и вращении вокруг оси). Наиболее полно изучается здесь центральная симметрия. В дальнейшем по ходу изучения курса мы будем неоднократно возвращаться к изучению этих изометрий (мы ввели понятие изометрии вместо понятий движения или перемещения, так как последние два служат для характеристики совсем других объектов). Эта глава содержит два очень интересных и важных раздела: раз-
вертки многогранников и правильные многогранники.

Второй год обучения (7 класс).

Учебный год начинается с изучения последнего раздела предыдущей главы "Первые задачи на построение". В этом разделе кроме обычного материала о построениях на плоскости обсуждаются вопросы построений в пространстве.

Глава 3. Взаимное расположение прямых. В этой главе рассматриваются все основные случаи взаимного расположения прямых: пересекающиеся, перпендикулярные, параллельные, скрещивающиеся. Материал строится так, что вокруг соответствующего расположения прямых группируются родственные вопросы. Так, в разделе пересекающиеся прямые изучаются свойства вертикальных углов, представления о построениях конических поверхностей и т.д. Богатое содержание сопровождает изучение перпендикулярности прямых: серединный перпендикуляр отрезка, свойства и приложения осевой симметрии, высота треугольника, специальный раздел, посвященный изучению площадей, и т.д. Большую часть времени занимает изучение свойств параллельности прямых и смежных вопросов: аксиома параллельных, признаки параллельности прямых, большой раздел "Четырехугольники", их свойства и площади, отдельная тема "Призмы".

Третий год обучения (8 класс) начинается с изучения последней темы предыдущей главы, посвященной изучению свойств скрещивающихся прямых.

Глава 4. Параллельный перенос и векторы. Эта небольшая глава содержит много полезного материала как для самой геометрии, так и для физики: бордюры, орнаменты, паркеты, операции над векторами (пока без скалярного произведения) и т.д. Важно понимать, что все эти вопросы рассматриваются сразу в пространстве.

Глава 5. Взаимное расположение прямых и плоскостей. Эта достаточно большая глава содержит материал, связанный с изучением пересечения прямой и плоскости, перпендикулярности прямой и плоскости, параллельности прямой и плоскости; конечно, при этом рассматривается много сопутствующих вопросов.

Глава 6. Взаимное расположение плоскостей. В этой главе рассматриваются пересекающиеся плоскости, перпендикулярные плоскости и параллельные. Кроме этого уточняются многие вопросы, которые появлялись ранее, но не могли быть полностью рассмотрены, например, расстояние между скрещивающимися прямыми, свойства граней многогранников, сечения многогранников и т.д. Специальный раздел обобщает и развивает представления учащихся о декартовых координатах в пространстве. Здесь появляются тригонометрические функции и некоторые их приложения в геометрии.

Четвертый год обучения.

Глава 7. Круглые тела. В этой главе завершается знакомство с круглыми телами, так как некоторая информация уже появлялась в курсе. Здесь происходит изучение площадей и площадей поверхностей различных круглых тел (в том числе и площадь круга).

Глава 8. Подобие фигур. К данному моменту уже есть полная возможность рассмотреть этот вопрос для всех расположений фигур в пространстве.

Глава 9. Измерение объемов.

Отметим, что на данный момент завершился первый эксперимент по изучению нашего курса в 6-7 классах (иногда это 7-8 классы), издано пять частей пособия, которые рассчитаны на два с половиной года обучения, в ближайшее время появится шестая часть, созданы три методических пособия и справочник.

Наблюдения за работой учащихся показывают прежде всего их повышенный интерес к предмету, а это уже очень важно.