Успешность обучения студентов в вузе во многом зависит от качеств знаний, которыми школа вооружает своих выпускников. К их числу педагогика относит полноту и глубину, оперативность и гибкость, конкретность и обобщенность, свернутость и развернутость, систематичность и системность, осознанность и прочность.
Выпускник средней школы, выбравший будущую специальность, связанную с математикой, должен усваивать содержание и методы, определенные программой средней школы; должен уметь раскрыть с достаточной глубиной целостные теории и менее компактные теоретические знания, оперируя ими в развернутом и свернутом виде; должен уметь формулировать и доказывать теоремы, давать точные определения и, что не менее важно, владеть обобщенными умениями.
Если задача выпускных экзаменов - проверка усвоения школьного курса математики, то вступительные экзамены, наряду с выше перечисленными требованиями к выпускной экзаменационной работе, имеют целью выявление абитуриентов, способных логически мыслить, имеющих достаточную подготовку для обучения в вузе, проявляющих склонности к математике. Особо ценится при решении задач и доказательстве теорем оригинальный самостоятельный подход.
Экзаменационная комиссия по математике ЯГПУ в последние годы систематически предлагает абитуриентам ряд задач, для решения которых требуется значительный уровень самостоятельности мышления, необходимость ориентироваться в нестандартной, непривычной для школьников ситуации. Разумеется, эти задачи не выходят за рамки программы для поступающих в вузы ни по содержанию, ни по уровню сложности. В то же время постановка обучения в школе в определенном смысле неизбежно приводит к существованию некоторого разрыва между требованиями выпускных и вступительных экзаменов. Общеобразовательные школы не ориентируют всех выпускников на поступление в вуз, и поэтому от поступающих требуется, безусловно, несколько более высокий, по сравнению с обычными школьными требованиями, уровень знаний, умений и навыков. Этот уровень школа вполне может обеспечить, если учебный процесс в ней будет направлен не только на достижение некоторого всеобщего минимума, но и на внимательный учет потребностей и возможностей учащихся, проявляющих определенные способности к усвоению математики, имеющих целью поступление в вузы по специальностям, связанным с математикой. Поэтому, на наш взгляд, вполне оправдано включение в варианты вступительных экзаменов задач, не требующих знаний, выходящих за пределы программы средней школы, однако не всегда “отрабатывающихся” в школе.
Остановимся на некоторых недостатках решения задач, свойственных подавляющему большинству абитуриентов, поступавших в 1996 году и имевших в целом сравнительно высокий уровень математической подготовки.
Школьники практически не знакомы со многими приемами, позволяющими сделать решение задачи более рациональным. Так, при решении неравенств вида:
абитуриенты заменяли их совокупностью систем, хотя знак числителя уже известен.
При решении неравенств вида 
метод интервалов
практически никем не использовался.
Научившись в школе фактически только одному приему решения уравнений
и неравенств, содержащих знак модуля, поступающие применяют этот прием,
совершенно не задумываясь над возможностью решить задачу более простым
способом. Например, неравенство 
заменялось
совокупностью систем: 
или 
Между тем, в соответствии со школьной программой, учащиеся, безусловно,
должны знать, что 
Поэтому указанное неравенство фактически решается весьма просто.
Ответ: 
.
Необычная или редко встречающаяся в школе запись условия часто делает задачу неприступной для абитуриентов, хотя после несложных преобразований задание становится стандартным и решается по известным алгоритмам.
Так, практически беспомощными оказались поступавшие при поиске решения задач вида:
- Построить график функции:
а) 
б) 
.
- Определить вид треугольника (остроугольный, прямоугольный, тупоугольный), если длины двух его сторон 1 и 13, а медиана, проведенная к третьей стороне, равна 2.
- В D ABC медиана AD и биссектриса BE перпендикулярны и пересекаются в точке F. Площадь D DEF равна 5. Найти площадь D ABC.
Для построения графиков функций необходимо было выполнить тождественные преобразования аналитических выражений, приведя их к виду:
а) 
б) 
Проанализировав решения предлагаемых планиметрических задач на определение вида треугольника по длинам его сторон, мы пришли к выводу, что учащиеся не знают или не могут получить следствия из теоремы косинусов, которая является одной из основных теорем школьного курса планиметрии, что говорит о формальном усвоении и самой теоремы.
Выпускники средних школ плохо различают понятия системы и совокупности, не могут перевести на язык символов формулировки задач, в которых встречаются слова “хотя бы одно решение”, “не более двух корней”, “не менее трех решений”, “каждое решение” и т.п. Так, предложенные различные задачи абитуриенты решали одинаково, тогда как решение одной задачи сводится к решению системы неравенств, а другой - к решению совокупности неравенств.
Задача №1. Найти все такие значения x, при которых график каждой
их функций 
и 
лежит
ниже графика функции 
.
Задача №2. Найдите все такие значения x, при которых значение хотя
бы одной из данных функций 
и 
больше
3.
Подавляющее большинство поступающих незнакомо с простейшими особенностями решения задач с параметрами. Здесь еще раз проявляется отрыв теории от практики, когда теоретические знания и формируемые при их усвоении умения не переносятся на обобщенный уровень, не становятся базой для решения других задач. Для преодоления психологического барьера, возникающего у абитуриента при выполнении заданий, содержащих параметр, необходимо, на наш взгляд, чаще включать их в систему упражнений, выполняемых на уроках алгебры, начиная с 7-го класса. Например, при изучении квадратного трехчлена можно прорешать много различных типов задач с параметрами, и тогда не вызвали бы большого затруднения задания типа:
- Задайте формулой квадратичную функцию 
,
если ее график проходит через точки A(0;-2), B(-2;4) и 
в
единственной точке.
- При каких значениях параметра a функция 
принимает
только неотрицательные значения при любом значении x ?
Высокую диагностическую и прогностическую значимость имеют текстовые задачи, поскольку их решение требует от абитуриентов определенного уровня как алгоритмической, так и логической культуры. Текстовые задачи важны с точки зрения прикладного аспекта, так как именно они знакомят учащихся с методами математического моделирования уже на ранних этапах обучения. Практически ежегодно такие задачи включаются в варианты вступительных экзаменов. Так, текстовые задачи на движение и совместную работу не вызвали особых затруднений, но значительная часть абитуриентов не справилась с “задачами на проценты” типа
- Свежие фрукты содержат 72% воды, а сушеные - 20%. Сколько получится сушеных фруктов из 20 кг свежих ?
- Имеется кусок сплава меди с оловом общей массой 12 кг, содержащей 45% меди. Сколько чистого олова надо добавить к этому куску сплава, чтобы получившийся новый сплав содержал 40% меди ?
В 10-11 классах решение текстовых задач не входит в программу алгебры и начал анализа (за исключением задач оптимизации), поэтому учащиеся забывают методы решения текстовых задач, которыми овладели в 9-летней школе. Учитель может помочь старшекласснику, проводя 2-3 раза в год обобщающие уроки, уроки-семинары, уроки-практикумы по решению текстовых задач.
Приведем наиболее распространенные недостатки в знаниях, выявленные в ходе устного экзамена.
Абитуриенты не различали определения понятия и его признак, из-за этого приводимые ими доказательства часто теряли смысл.
Поступавшие безошибочно давали общее определение функции, используя
термины “зависимость” или “соответствие”, и не могли подвести под него
понятие конкретной трансцендентной функции (
, 
и
др.).
На вопрос о характере монотонности функции 
сразу
следовал ответ, что она “является возрастающей, так как основание логарифма
больше 1”, хотя данная функция является композицией двух функций 
,
и 
является убывающей на области определения.
На устном экзамене абитуриенты хуже отвечали на вопросы по алгебре, чем по геометрии. Вероятно, это объясняется разными требованиями к теоретической подготовке школьников по этим предметам.
Поступавшие затруднялись в доказательстве теоремы Виета (прямой и обратной),
свойств степеней с рациональными показателями, свойств логарифмов, в выводе
формул сложения для тригонометрических функций. 
Много допускалось ошибок логического характера, например, при доказательстве свойств числовых неравенств, при доказательстве существования окружности, описанной около треугольника, при выполнении несложного практического задания.
Особые затруднения вызвали следующие задачи экзаменационных билетов:
- Построить график функции
а) 
,
б) 
.
- Изобразить на плоскости множество точек, удовлетворяющих уравнению 
.
- Построить ромб по его диагоналям.
- Решить уравнение: 
.
- Доказать, что касательная к окружности, проведенная в вершинах прямоугольника, вписанного в эту окружность, образует ромб. В каком случае ромб будет квадратом ?
Таким образом, если школа ставит перед собой в числе других и задачу подготовки учащихся к поступлению и дальнейшему успешному обучению в высшем учебном заведении, то для ее решения требуются определенные изменения в содержании и ориентации преподавания, особенно для будущих абитуриентов.
В заключение приведем примеры вариантов материала для вступительных экзаменов, предлагавшихся в 1996 году.
Специальность “математика”
1. При каких значениях параметра функция 
имеет
наибольшее значение, и это значение больше 5,5 ?
2. Решить неравенство 
3. Решить уравнение 
4. Определить вид треугольника (остроугольный, прямоугольный, тупоугольный), если длины двух его сторон 6 и 15, а длина биссектрисы угла между ними равна 5.2 ?
5. Диагонали ромба равны 12 см и 16 см. Точка S, расположенная вне плоскости ромба, удалена от всех его сторон на 8 см. Найти расстояние от точки S до плоскости ромба.
Специальность “физика”
1.Построить график функции 
2. Решить неравенство 
3. Решить уравнение 
4. Со станции A вышел в 5 часов утра почтовый поезд по направлению к станции В, отстоящей от А на 1080 км. В 8 ч утра из В в А вышел скорый поезд, который проходил в час на 15 км больше, чем почтовый. Найти время встречи поездов, если она произошла на середине пути АВ.
5. Около круга радиуса 2 см описана равнобочная трапеция с площадью 20 см2. Найти длины сторон трапеции.
1. Упростить выражение 
2. Решить уравнение 
3. Решить неравенство 
4. Морская вода содержит (по весу) 5% соли. Сколько килограммов пресной воды нужно добавить к 40 кг морской воды, чтобы содержание соли в растворе составило 2% ?
5. Из точки, отстоящей от центра круга на m см , проведены касательные к кругу. Расстояние между точками касания равно a см. Найти площадь круга.