Е. А. Меньшикова

Методы пополнения системы упражнений по теме "Экстремум функции"

Одним из стандартных требований к системам упражнений по той или иной теме является их полнота. Автором был проведен анализ нескольких стандартных задачников по математическому анализу [1, 2, 3, 4]. В результате анализа было установлено, что системы упражнений по теме "Экстремум функции" не полны в целом ряде отношений.

1. Практически отсутствуют функции с разрывом в точке экстремума, и крайне мало функций, недифференцируемых в точке экстремума.
2. Типы уравнений, к которым сводятся задачи на экстремум, составляют лишь незначительную часть типологии уравнений, известных школьникам.
3. Умственные действия, выполняемые студентами в связи с изучением экстремумов функции, однообразны: во всех задачах необходимо найти экстремум. Отсутствуют задачи на построение функций с заданными экстремумами и на обобщение.
4. Количество упражнений недостаточно для высокой персонификации заданий.

В данной статье предлагаются методы пополнения системы упражнений по данной теме и обосновывается следующее утверждение: попытка выполнить современные требования дидактики в отношении хотя бы одной темы приводит к значительному увеличению количества упражнений, выходящему за рамки полиграфических возможностей; данное обстоятельство вынуждает отказаться от бумажных носителей информации и заменить их магнитными.

При составлении систем упражнений по той или иной теме желательно предусмотреть возможность ликвидации пробелов в знаниях студентов, возникших при изучении предыдущих разделов. При отыскании экстремумов дифференцируемых в области определения функций учащийся сталкивается с необходимостью решить уравнение . Возникает естественная возможность повторить методы решения основных типов уравнений, известных учащимся. Для этого составим типологию уравнений, изучаемых в школе (табл. 1), используя различные источники, подберем конкретные примеры, классифицируем их по уровню сложности, а затем проинтегрируем.

Если, например, мы хотим, чтобы при нахождении точек экстремума функции студенты повторили методы решения тригонометрических уравнений с помощью формул сложения тригонометрических функций, то можно поступить следующим образом:

• выбираем соответствующее тригонометрическое уравнение, например,

• умножаем его на три, чтобы после интегрирования получить целые коэффициенты

• считаем, что в левой части уравнения стоит производная функции

• интегрируем ее

;

• выбираем произвольное значение константы C, например, С=-2;
• формулируем задачу: найти экстремумы функции

.

Описанную процедуру можно применить к каждой строке табл. 1. Например, методы решения уравнений, содержащих знак модуля, можно повторить при отыскании экстремумов следующих функций:

Отметим, что при составлении функций табл. 2 целесообразно использовать формулу

, где .

Аналогично, методы решения трансцендентных уравнений можно повторить, используя задачи об отыскании экстремумов следующих функций:

При подборе уравнений нужно учитывать следующие требования. Во-первых, уравнения не должны быть слишком сложными, так как основная цель - нахождение точек экстремума, а не оттачивание техники решения уравнений до совершенства. Во-вторых, в процессе интегрирования не должен меняться тип уравнения.

Для персонификации заданий в группе преподавателю желательно иметь, скажем, по десять примеров на каждый тип уравнения. В результате вычислений согласно приведенной типологии получаем, что коллекция упражнений только для освоения навыка нахождения экстремумов дифференцируемых функций должна состоять примерно из 400 упражнений. Мы видим, что попытка отразить одну из тенденций современного образования (дифференциация и индивидуализация обучения) приводит к более чем десятикратному увеличению количества упражнений по сравнению с количеством упражнений, имеющихся в стандартных задачниках.

В рамках данной статьи "экзотическими" экстремумами будем называть точки экстремума функции, в которых она разрывна, не дифференцируема, или в окрестности которых она обладает нестандартным сочетанием типов монотонности.

Как показал анализ ряда задачников по математическому анализу (см. выше), "экзотические" экстремумы представлены в них в незначительном количестве. Преподавателю придется либо обращаться к другим задачникам, либо составлять необходимые примеры самому. Предложим ряд способов, позволяющих конструировать многочисленные примеры функций, обладающих "экзотическими" экстремумами.

Стандартным и наиболее распространенным примером функции с "экзотическим" экстремумом является функция . Точка x=0 является точкой минимума, функция непрерывна и не дифференцируема в этой точке. Большинство задачников ограничиваются данным примером. Посмотрим, как, взяв за основу функцию , можно получить функции, обладающие несколькими "экзотическими" экстремумами такого типа. Рассмотрим функцию . Ее график получается из графика функции путем сдвига вниз на восемь единиц с последующим отражением от оси Ох той части, которая лежит ниже ее. Очевидно, что функция имеет три точки экстремума: минимум в точках x=± 8 и максимум в точке x=0; причем во всех точках экстремума функция непрерывна, но не дифференцируема. Проделаем аналогичную процедуру еще раз и рассмотрим функцию . Функция имеет уже семь точек экстремума: минимум в точках x=± 4,± 12 и максимум в точках x=0,± 8. Как и функция , функция непрерывна, но не дифференцируема в точках экстремума. Описанную выше процедуру можно снова применить, но уже к функции . В результате получим некоторую функцию и т.д. Через n шагов мы получим функцию , задаваемую формулой , где . Возникает естественный вопрос: сколько экстремумов и каких имеет данная функция? Рассмотрев несколько первых членов последовательности , легко подметить закономерность: на каждом шаге число минимумов увеличивается вдвое, а число максимумов всегда меньше числа минимумов на один. Таким образом, функция имеет точек экстремума, из них максимумов и минимумов, причем в каждой из точек экстремума функция непрерывна, но не дифференцируема.

Если в качестве исходной взять функцию и применить к ней рекурентную формулу, то мы получим последовательность функций вида , где . Как и в предыдущем примере, функция имеет точек экстремума, из них максимумов и минимумов. Функция непрерывна во всех экстремальных точках и во всех, кроме точки x=0, не дифференцируема.

В некоторых случаях взятие модуля может дать неожиданные результаты. Например, функция разрывна и имеет минимумы во всех целочисленных точках. Функция непрерывна на множестве действительных чисел, имеет экстремумы в точках вида : максимумы в точках вида и минимумы в точках вида , ; причем и в точках минимума, и в точках максимума данная функция не дифференцируема.

Вторым стандартным примером функции с экзотическим экстремумом является функция . Вполне естественно не ограничиваться только этой функцией, а пойти дальше и рассмотреть следующий ряд функций, увеличивая количество корней кратности два у многочлена под знаком радикала, как это показано в табл. 4:

* Где

Каждая из приведенных в таблице функций дифференцируема в точках максимума и не дифференцируема в точках минимума.

2. Композиции, содержащие обратные тригонометрические функции: , , , .

Примером функции, обладающей счетным множеством "экзотических экстремумов", является функция . Данная функция имеет экстремумы в точках вида : минимумы в точках вида и максимумы в точках вида . Она непрерывна, но не дифференцируема в них.

Функция непрерывна в области определения. У нее нет точек экстремума, так как точки вида , не входят в область определения функции. Рассмотрим функцию . Она обладает минимумами в точках вида , причем непрерывна и не дифференцируема в них. Несмотря на то, что функция возрастает в левосторонних открытых окрестностях и убывает в правосторонних открытых окрестностях точек вида , экстремумов в этих точках нет, так как они, как и в предыдущем случае, не входят в область определения.

За основные возьмем следующие неэлементарные функции: , , .

Использование указанных неэлементарных функций позволяет конструировать многочисленные примеры функций, обладающих "экзотическими" экстремумами. Приведем примеры функций, имеющих минимум в точке x=0 и обладающих различными сочетаниями свойств в этой точке и ее односторонних открытых окрестностях.

Приведенные примеры показывают, что понятие экстремума не связано, вообще говоря, с монотонностью, непрерывностью и дифференцируемостью функции в точке экстремума. Лишь при одновременном выполнении нескольких условий возникает связь - достаточное условие экстремума.

Возможно 13 сочетаний монотонности различных смыслов, непрерывности и дифференцируемости - 13 различных типов экстремумов. Экстремум каждого типа должен быть представлен в упражнениях. Число упражнений еще увеличится, если учесть необходимость упражнений для тренажа дома и на занятии, а также возможность реализации принципов индивидуализации и дифференциации обучения. Мы, как и в случае восстановительной дифференциации, ограничимся десятью примерами на каждый тип экстремума. В результате подсчета получим 120 упражнений (по десять примеров на каждый из 12 типов "экзотических" экстремумов).

Таким образом, математическая и педагогическая целесообразность рассмотрения "экзотических" экстремумов также увеличивает число необходимых упражнений.

Согласно принципу дополнительности в обучении математике [5. С.127], в практику обучения наряду с упражнениями на нахождение экстремумов предлагаемых студентам функций целесообразно включать и упражнения на конструирование функций с экстремумами заданных типов. Для выполнения упражнений на конструирование характерно обратное направление мысли от результата (экстремума) к исходным данным (функции). Благодаря этому происходит установление двусторонних (обратимых) связей, что является важным условием всестороннего усвоения учебного материала.

Упражнения на конструирование функций с экстремумами заданных типов и значений разделим на две группы.

Как показано в таблице 5, существует 13 различных типов экстремумов. Все они доступны для конструирования на основе простейших элементарных и неэлементарных функций: , , , , , .

Наиболее легкой формой упражнений на конструирование является подбор параметров и доопределение функции. Рассмотрим примеры.

Пример 1. Подберите параметр таким образом, чтобы функция имела: а) максимум; б) минимум; в) не имела экстремума; г) имела экстремум и была непрерывна.

Пример 2. Доопределите функцию в точке x=1 так, чтобы новая функция в данной точке: а) имела максимум; б) имела минимум; в) не имела экстремума; г) имела экстремум и была непрерывна.

Естественной формулировкой упражнения на конструирование является следующая: "Приведите пример функции, имеющей в точке x₀ максимум, и такой, что при этом функция: а) убывает слева и возрастает справа от нее; б) убывает слева, возрастает справа и существует ; в) убывает слева, возрастает справа и непрерывна в точке x₀." Однако такая формулировка трудна в психологическом отношении, поскольку студентам приходится преодолевать стереотипные представления о связи характера экстремума (минимум/максимум) и определенного поведения функции в точке экстремума и ее окрестностях.

Психологически более комфортным, по нашему мнению, является следующий способ освоения навыка конструирования функций. Рассматриваются три-четыре функции, обладающие различными свойствами в точке экстремума и ее окрестностях, при этом делается акцент на различии свойств. После этого студентам предлагается самостоятельно выяснить, какие еще сочетания свойств возможны. Для удобства фиксации сочетаний свойств составляется и заполняется таблица, в которой отражаются тип монотонности, характер непрерывности и дифференцируемость функции в точке экстремума (см. таб. 5).

Исследование функции на экстремум не является слишком сложным упражнением, поскольку выполняется с помощью алгоритмического предписания. Конструирование функции с набором экстремумов заданных типов и значений вначале представляет определенные трудности. Однако трудности носят временный характер: предварительное решение специально подобранных упражнений или показ способа конструирования преподавателем делают это упражнение доступным для всех.

Пример 3. Не каждый студент сможет сразу привести пример дифференцируемой функции, обладающей локальным максимумом на интервале (5;6) и локальным минимумом на интервале (6;7). Выполнение упражнения существенно упрощается, если предварительно исследовать на экстремум функции и . В процессе исследования можно сделать следующее наблюдение: точки экстремума многочлена , где , находятся между его корнями. Тогда искомая функция имеет вид: .

Пример 4. Построим функцию с локальным минимумом на интервале (0;2), локальным максимумом в точке х=0 и касающуюся оси Ох в этой точке. Предварительное исследование на экстремум функции , где a¹ b, показывает, что данная функция имеет экстремум в точке x=a, если n - четное. Таким образом, искомая функция имеет вид: .

Построение функций, непрерывных, но не дифференцируемых в точках экстремума, рассматривалось в п.II данной статьи.

В рассмотренных примерах происходило чередование минимумов и максимумов. Но как, например, построить функцию со следующим набором локальных экстремумов: x_max=6, x_max=7, x_min=8, x_min=9, x_max=10. Очевидно, что функция будет претерпевать разрыв в точках экстремума. Она легко строится на основе функций и . Действительно, искомая функция имеет вид:

. (Построение графика функции связано со школьным материалом - преобразованием графиков функций.) После построения нескольких функций с различным чередованием минимумов и максимумов и различными значениями в точках экстремума выводится формула функции, имеющей локальные максимумы A_i в точках a_i, где i=1,...,n и , и локальные минимумы B_i в точках b_i , где i=1,...,m и :

.

Рассмотрение функций

, дает способ построения функции, непрерывной и дифференцируемой в точках экстремума, но немонотонной в их односторонних открытых окрестностях: , .

Довольно интересно построение функций, заданных на интервале (полуинтервале, отрезке) и обладающих на нем определенным количеством локальных экстремумов.

Пример 5. Приведите пример функции, определенной на отрезке и имеющей один максимум и один минимум.

Простейшим примером функции, обладающей одним максимумом и одним минимумом на отрезке , является функция . Однако ее областью определения является множество действительных чисел. Следовательно, нужно аналитически задать сужение функции на отрезок . Для этого домножим функцию на функцию, тождественно равную единице с областью определения : . Искомая функция будет иметь вид: .

Приведем примеры более легких упражнений. Предварительно введем обозначение: , где a<b.

Пример 6. Исследуйте на экстремум функции: , .

Пример 7. Подберите параметры a и b так, чтобы функция имела: а) три минимума и три максимума; б) один минимум и два максимума; в) один минимум; г) не имела точек экстремума.

В примере 7 мы изменяем область определения исходной функции таким образом, чтобы она включала нужное количество точек экстремума. Другой вариант этого упражнения: область определения остается неизменной, нужное количество точек экстремума достигается с помощью элементарных преобразований графика функции (растяжение и параллельный перенос вдоль оси Ох).

Пример 8. Подберите параметры a и b таким образом, чтобы функция имела: а) один максимум; б) два минимума и один максимум; в) n минимумов и n максимумов; г) не имела точек экстремума.

Аналогичные упражнения можно составить на основе любых периодических функций: , , , , .

Выполнение упражнений на конструирование оказывает положительное воздействие. Во-первых, в процессе выполнения упражнений по конструированию студенты по словесному описанию задают функцию аналитически и строят ее график. Таким образом, происходит преобразование словесной формы представления информации в графическую и аналитическую. Информация кодируется одновременно тремя способами: словесно, графически и символьно, что обеспечивает более прочное ее усвоение [5. С.143]. Во-вторых, выполнение упражнений по конструированию способствует формированию важного умения, а именно, умения иллюстрировать определения, утверждения и теоремы соответствующими примерами.

Попытаемся подсчитать количество необходимых упражнений на конструирование. В упражнениях на конструирование функции с одним экстремумом заданного типа и значения должно быть представлено конструирование минимумов и максимумов всех 13 типов. Так же должны быть упражнения с таким сочетанием свойств, когда построение искомой функции невозможно (например, по 7 упражнений на минимум и максимум). Среди упражнений на конструирование функций с набором экстремумов заданного типа и значений должно быть представлено конструирование функций, дифференцируемых в точках экстремума, непрерывных и не дифференцируемых в точках экстремума, с разрывом в точках экстремума. Упражнения на конструирование каждого из трех типов функций должны иметь различные формулировки: доопределение (5 упражнений), подбор параметров (5 упражнений), непосредственно конструирование (10 упражнений). В результате подсчетов получим 100 упражнений на конструирование.

В данной статье мы предложили несколько методов, позволяющих частично устранить указанные недостатки систем упражнений по теме "Экстремум функции". В результате пополнения количество упражнений значительно увеличилось. От 10-28 упражнений, содержащихся в стандартных задачниках по математическому анализу, наша система выросла до 620 упражнений: 400 упражнений на дифференцируемые функции, 120 упражнений на "экзотические" экстремумы и 100 упражнений на конструирование. Необходимо заметить, что мы не в полной мере учитывали требования организационной и психологической полноты. Учет этих требований приведет к еще большему количеству упражнений.

Таким образом, чисто педагогические потребности заставляют преподавателя оперировать с большими массивами задач. Большой объем системы задач, во-первых, выходит за рамки полиграфических возможностей и, во-вторых, существенно затрудняет поиск задачи с определенными свойствами, их группировку и сортировку по различным признакам. Преподаватель нуждается в эффективной системе управления большими массивами задач. Такими свойствами обладают современные системы управления базами данных. Использование баз данных предоставляет следующие возможности:

• быстрый поиск, группировку и сортировку информации по различным признакам, при этом условие отбора может представлять собой достаточно сложное логическое выражение;
• задачник в виде базы данных можно постоянно пополнять, что позволит фиксировать личный опыт преподавателя или коллектива преподавателей, сделает его доступным для научного анализа, систематизации и обобщения.

Таким образом, целесообразно изучение педагогических возможностей баз данных и построение задачников на их основе. Это и будет составлять предмет дальнейших исследований автора.

Литература

1. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. М.: Гос.изд-во физ.-мат.лит., 1963. 443с.
2. Виленкин Н.Я. и др. Задачник по курсу математического анализа. Ч.1 / Под ред. Н.Я.Виленкина. М.: Просвещение, 1971. 350с.
3. Виноградова И.А. и др. Задачи и упражнения по математическому анализу / И.А.Виноградова, С.Н.Олехник, В.А. Садовничий. Под общ.ред. В.А.Садовничего. М.: Изд-во Моск.ун-та, 1988. 416с.
4. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. М.: Наука, 1990. 624с.
5. Эрдниев П.М., Эрдниев Б.П. Укрупнение дидактических единиц в обучении математике. М.: Просвещение, 1986. 255с.