1. Первое сопоставление идей
Три года назад, в феврале 1993, был заключен меморандум о сотрудничестве между Дейтонским университетом (Дейтон, Огайо) и Ярославским педагогическим университетом. С тех пор преподаватели и студенты обоих вузов ездили друг к другу "в гости" для обучения и обмена опытом. С января по май текущего года мне выпала честь принять участие в этом обмене.
Первое, что бросается в глаза, - чрезвычайная трудность организации профессиональной ориентации преподавания, в особенности на младших курсах. По американским традициям изучение математики начинается с математического анализа, который одновременно слушают студенты, готовящие себя к разным видам деятельности, - математика-исследователя, инженера, бизнесмена, учителя. В результате в каждый момент лекции часть слушателей инстинктивно отторгает излагаемый материал: абстрактные конструкции интересны только будущим математикам, взаимосвязи высшей математики со школьным курсом вряд ли заинтересуют будущего бизнесмена, а вопросы существования и эффективности вычислительных алгоритмов ориентированы преимущественно на будущего инженера. Таким образом преподаватели объективно находятся в трудном положении.
Следует отметить, что хотя мои американские коллеги не занимались специально вопросами профессиональной ориентации курсов и не знакомы с соответствующими работами русских авторов (например, А. Г. Мордковича [4]), они прекрасно понимали характер описанных трудностей и преодолевали их в своем стиле - путем насыщения лекций примерами из разных областей знания, трактовки традиционных вопросов в контексте математического моделирования и т.д.
Первые утверждения апробируемой концепции состояли в следующем. Деятельность хорошего учителя является разновидностью исследовательской работы в специфической области знаний. Ее предметом служит частная методика преподавания, т.е. поиск эффективных методов изучения конкретных тем, а также методика воспитательной работы. Существует объективная потребность в учителях-исследователях.
Аргументы, приводимые обычно в обоснование этой точки зрения, поначалу не встречали понимания. Например, тот факт, что с середины прошлого и до середины нынешнего века школьные учебники в России писались школьными учителями (И. К. Андронов [1]), рассматривался как специфика России, мало применимая к Америке. Тот факт, что такие первоклассные математики, как Г. Грассман и К. Вейерштрасс, работали школьными учителями, первый всю жизнь, а второй в течение 13 лет (А. Н. Боголюбов [2], П. Я. Кочина [3]), cчитался слишком удаленным от нас во времени и потому также мало применимым. Перелом неожиданно наступил, когда была приведена выдержка из существующих учебных планов: более 1700 часов на чистую математику в течение первых трех курсов. (Эта цифра произвела эффект разорвавшейся бомбы: на одном из семинаров мне даже не дали продолжать и попросили подробнейших разъяснений.) Столь большой объем был признан достаточным не только для описательного изложения и строгих доказательств, но и для привития первоначальных навыков научной работы. В силу этого очередное утверждение рассматриваемой концепции, которое мы назовем принципом Моделирования Научных Исследований (МНИ), воспринималось как естественное: обучение математике в педвузе должно быть моделью исследовательской работы в сфере математики и методики преподавания математики.
Вытекающие из этого положения вопросы вполне естественны и были поставлены моими слушателями в той последовательности и форме, в какой они возникли и передо мной. Возможно ли такое моделирование? Если да, то насколько оно эффективно для подготовки будущих учителей? Каковы важнейшие черты научных исследований, подлежащие моделированию? Как оно осуществляется?
Детализированные ответы
на эти вопросы составили основное содержание моей работы по пропаганде
в США российских педагогических концепций. С этой целью было сделано
12 выступлений на семинарах в четырех университетах и доклад на
региональной научной конференции. Ниже предлагается материал,
частично раскрывающий данную тему.
2. Некоторые характеристические
свойства научных исследований
Для иллюстрации общих утверждений приведем несколько коллекций упражнений, каждая из которых, с одной стороны, выявляет характеристические черты научных исследований, а с другой стороны, основана на чрезвычайно простой математической технике.
Рассмотрим векторные пространства C, C2, C[x]Ј 2 (пространство многочленов с комплексными коэффициентами, степени которых не превосходят 2) и М2(C) из пединститутского курса. Стандартное упражнение состоит в том, чтобы найти их размерности над полями C и R. Результаты решений можно свести в таблицу:
| C | C2 | C[x]Ј 2 | М2(C) | |
| dimC | 1 | 2 | 3 | 4 |
| dimR | 2 | 4 | 6 | 8 |
Дополним таблицу еще одним
столбцом и вместо перечисленных конкретных пространств рассмотрим
произвольное n-мерное векторное пространство над C. Какова
его размерность над R? Многократная проверка в российских
и американских вузах показывает, что студенты легко догадываются,
какова она, и самостоятельно формулирует гипотезу
dimC(V)
= n Ю dimR(V)
= 2n (1)
Приведенные простые упражнения хорошо иллюстрируют индуктивный характер математических умозаключений, что особенно важно для студентов, привыкших к дедуктивному изложению математики. Анализируя природу математического творчества, А. Пуанкаре в своей книге "Наука и гипотеза" [6. C.8] пишет следующее: "Какова природа умозаключения в математике? Действительно ли она дедуктивна, как думают обыкновенно? Более глубокий анализ показывает, что это не так, - что в известной мере ей свойственна природа индуктивного умозаключения, и потому-то она столь плодотворна. Но от этого она не теряет своего характера абсолютной строгости..." (Курсив мой - А.Я.) Вопрос о сущности математического творчества оказывается для А. Пуанкаре настолько важным, что он возвращается к нему вновь и вновь в своих последующих книгах "Ценность науки" и "Наука и метод". При этом дедуктивное и индуктивное начала выступают в виде конкретных проявлений деятельности математика - логики и интуиции соответственно. Замечательно, что вопрос о соотношении логики и интуиции разрешен поистине диалектически: "...Интуиция и логика играют каждая свою необходимую роль. Обе они неизбежны. Логика, которая одна может дать достоверность, есть орудие доказательства; интуиция есть орудие изобретательства". (С.167) Таким образом, обучая математике, мы должны, наряду с логикой, обучать студентов интуиции, изобретательству, так как в противном случае мы будем обучать их чему-то меньшему, чем математика. Здесь не играют большой роли содержание или важность финального утверждения. Не столь важна также величина логического скачка, приведшего от предварительных задач к финальному утверждению, тем более, что на ранних стадиях обучения она неизбежно будет весьма невелика. Важно, что студент действует самостоятельно; еще важнее, что он получает обобщение, пусть сколь угодно малое. В своей самостоятельной обобщающей деятельности он становится подобен ученому, и у нас есть веские основания считать, что приобретенные навыки исследователя будут использованы им в последующей педагогической деятельности.
В предыдущих упражнениях
поле С можно заменить на поля
Если для каждого из них составить упражнения, аналогичные приведенным в таблице, и каждую из полученных групп решить в совокупности, то естественным образом возникают следующие гипотезы: (2,3,4)
Малополезное на первый взгляд тиражирование однотипных заданий дает преподавателю возможность распределить их между микрогруппами студентов, поручить каждой из них сформулировать и доказать обобщающее утверждение, а затем на практических занятиях организовать обмен информацией, полученной в результате личной деятельности. Так проявляется еще одно важное свойство научной работы.
С организационной точки зрения научное сообщество представляет собой весьма сложное образование с разветвленной иерархией и многокомпонентными отношениями принадлежности. В него входят отдельные ученые, творческие коллективы, исследовательские институты, учебные заведения, научные журналы, органы по присуждению ученых степеней, ассоциации, национальные академии, международные комитеты. Если посмотреть на все это с точки зрения теории систем, то неизбежно возникает вопрос об условиях успешной работы такой системы. Необходимым и достаточным условием функционирования науки как единого целого является обмен информацией между ее представителями. Без обмена информацией наука в принципе невозможна, и он интенсивно осуществляется посредством публикаций, конференций, семинаров и других форм общения. Коль скоро в реальном научном мире объективно существует некое явление, оно должно в той или иной форме отражаться в процессе преподавания. К счастью, у нас "все готово" для такого отражения.
Переменим точку зрения на утверждения (1)-(4) и будем рассматривать их не как обобщающие утверждения, а как некие первоначальные факты. Нетрудно видеть, что в каждом из четырех случаев мы переходим от основного поля к его сужению: C Й R, k Й Q, k- Й Q, k~ Й Q. Каждый раз при переходе к сужению размерность векторного пространства умножается на некий коэффициент, и каждый раз этот коэффициент равен размерности поля над своим подполем. Четырехкратное повторение любой ситуации, несомненно, является поводом для обсуждения. В нашем случае естественно возникает гипотеза: пусть f- - подполе поля f и V - векторное пространство над f; если dimf(V) = n и dimf- (f) = p, то dimf- (V) = np. Она является обобщением более высокого, по сравнению с предыдущим, уровня, обобщением ранее сделанных обобщений. Тем самым проявляется важная черта математики - иерархичность математических обобщений.
Разумеется, трудно ожидать, что студенты самостоятельно сделают описанные выше наблюдения. Здесь должен вступить в дело преподаватель и дополнить произведенный ранее обмен гипотезами (или теоремами) (1)-(4) организацией обсуждения их как нового, впервые появившегося перед студентами явления.
Приведенные выше упражнения
ориентированы не только на потребности математика-профессионала,
как это может показаться на первый взгляд, но и на потребности
будущего учителя. Рассмотрим, например, поле 
,
которое является расширением поля Q с помощью не принадлежащего
ему числа 
и состоит из чисел
вида 
c рациональными а и b.
Числа такого вида постоянно встречаются в школе. Действительно,
если квадратное уравнение ax2
+ bx + c = 0 имеет целые коэффициенты и его дискриминант
не является точным квадратом, то корни этого уравнения 
принадлежат расширению поля Q с помощью числa 
.
Аналогично, поле
- это расширение поля 
с помощью числа 
. Не случайно все
эти поля присутствуют в учебниках для педвузов, например, в классическом
руководстве Л.Я.Окунева [5].
Отступим на время от основной
линии нашего изложения ради решения одного частного упражнения:
какова размерность векторного пространства 
над полем 
? Для ответа на этот вопрос
нужно представить число 
и рассмотреть
его как линейную комбинацию векторов 1 и 
c коэффициентами
Т.о., с технической точки зрения требуется
немного - всего лишь школьные правила действий с радикалами, однако
применение их отнюдь не просто для студента, так как требует опыта
переосмысления школьного материала в контексте линейной алгебры.
Именно такие двусторонне ориентированные упражнения и коллекции
упражнений особенно ценились американскими коллегами.
Научная работа имеет одно свойство, отражение которого в процессе преподавания крайне желательно, - современность ведущихся исследований. Современность - вольный или невольный атрибут всякого научного исследования, наличие которого не зависит от воли и желания его автора. Причина такого неразрывного единства проста и прозаична: никто не будет печатать научных работ, если в них не изучаются находящиеся в центре внимания объекты исследования, или не вводятся новые, достойные изучения объекты, или не выявляются новые свойства классических объектов и т.д. Кратко говоря, несовременное, в широком смысле, исследование обречено на прекращение. Перед любой системой образования стоит проблема насыщения курсов материалом, который вводит студентов в круг изучаемых наукой проблем. Покажем, как приведенные выше простые примеры могут быть использованы для первоначального знакомства с супералгебрами, вошедшими в математику сравнительно недавно, порядка двадцати лет назад. Начнем с определения.
Пусть 
- поле классов вычетов по модулю 2. Алгебра Ј
называется Z2
- градуированной (или супералгеброй), если она разлагается в прямую
сумму подпространств 
таких, что ЈiЈj
М
Јi+j
, где i, j О Z2
.
Cоотношения включения могут быть записаны более подробно:
Покажем, что 
является супер-алгеброй над Q. Для этого рассмотрим подпространства
Очевидно, что 
Проверим соотношения включения.
а) Если 
следовательно, 
б) Если 
cледовательно, 
в) Если 
следовательно 
Таким образом, 
действительно является супералгеброй.
С педагогической точки зрения мы вновь имеем многосторонне ориентированное упражнение. Действительно, для его решения нам пришлось применить правила действий с радикалами, и в этом выражается его связь со школой. В то же время оно оперирует с понятием суммы подпространств, которое изучается в педагогических институтах. Наконец, оно несет пропедевтическую нагрузку по отношению к возможным спецкурсам, дипломным работам или обучению в аспирантуре.
Интересно, что алгебра
несет на себе по крайней мере
две суперструктуры. Вторая из них задается парой подпространств
Предлагаем читателю перечислить все суперструктуры на этой алгебре в качестве "упражнения".
Итак, мы проиллюстрировали возможность моделирования в процессе преподавания таких важных черт работы математика, как ее индуктивный характер, иерархическая структура обобщений, процессы информационного обмена, сопричастность к современным теориям. Весьма важно, что это было сделано с помощью предельно простых заданий. Автор надеется показать более детализированные и выразительные коллекции упражнений в специальной статье.
3. Точки соприкосновения
Американская и российская системы образования развиваются, к обоюдному сожалению, почти независимо друг от друга. Тем более удивительной оказалась хорошая согласованность и взаимная полезность авторской концепции и одной из американских традиций преподавания - большого внимания к вопросам математического моделирования. В Дейтонском университете регулярно ведется семинар по математическому моделированию, а работа над магистерскими диссертациями связана с применением дифференциальных уравнений к решению некоторых медицинских проблем. Кафедра математики гордится победой своих студентов в региональном конкурсе работ в этой области. В июле текущего года проводился общенациональный симпозиум под названием "Математическое моделирование в учебном процессе". В самом его названии отражается возможность согласования разных подходов.
По сути дела, речь идет о нескольких явлениях и двух последовательных ступенях моделирования. Во-первых, имеются природные процессы и математические объекты. Описание природных процессов в терминах математики составляет предмет науки и называется математическим моделированием. Во-вторых, сам процесс математического моделирования превращается, в свою очередь, в предмет моделирования особого типа, педагогического моделирования. Результатом педагогического моделирования становятся явления в сфере образования - новые курсы, планы, программы, методики. Относительная независимость двух этапов моделирования может быть проиллюстрирована простым примером: математическое моделирование колебательных движений было выполнено во времена Ньютона и Фурье, а педагогическое моделирование составляет предмет деятельности преподавателей в настоящее время и зависит от конкретных условий преподавания.
Другой подход состоит в том, чтобы рассматривать два объекта, математику и образование, выделить в математическом творчестве его характеристические свойства, не зависящие от предметной области математики и уровня исследований, а затем моделировать эти свойства в процессе преподавания. Обобщенность такого подхода выражается в том, что значительная часть математики не имеет дела с математическим моделированием, однако становится, наряду с ним, объектом педагогического моделирования. В то же время мы имеем хорошее согласование с традиционным взглядом на математическое моделирование - достаточно объявить его одной из характерных черт математики и работать в обычном ключе.
Итак, нам есть что "продать"
американской системе образования. В то же время необходимо многое
перенять. Большой по объему и богатый по содержанию курс статистики,
читаемый в университетах США, отражает ее место в современной
науке. Применение компьютеров в преподавании классических дисциплин
- другая область, в которой американцы имеют богатый опыт. Достаточно
сказать, что в течение уже десяти лет существует движение университетских
профессоров за реформу преподавания математического анализа, суть
которого - создать условия для самостоятельного переоткрытия студентами
многих теорем с помощью компьютеров. Американский прагматизм,
помноженный на американский энтузиазм, придает классическим курсам
очень мощную прикладную направленность. Было бы интересно посмотреть,
что может дать соединение российского и американского энтузиазма.
Литература
[1] Андронов И.К. Полвека развития школьного математического образования в СССР. М.: Просвещение, 1967.
[2] Боголюбов А.Н. Математики и механики. Киев: Наукова думка, 1983.
[3] Кочина П.Я. Карл Вейрштрасс. М.: Наука, 1985.
[4] Мордкович А.Г. О профессионально-педагогической направленности математической подготовки студентов //Советская педагогика. 1985. №12. C.52-57.
[5] Окунев Л.Я. Высшая алгебра. М.: Просвещение, 1966.
[6] Пуанкаре А.
О науке. М.: Наука, 1983.