В силу равенства отмеченных углов (рис.1) треугольник ACD подобен треугольнику CBE 
. Пусть AD=x, тогда DC=
. Так как AD2+DC2=AC2, то x2+
=9, x2=
. Таким образом, площадь квадрата равна .Анализ результатов приемных экзаменов в университет, опыт работы со школьниками, слушателями подготовительных отделений, студентами-математиками, готовящими себя к педагогической деятельности, дают основания сделать вывод о том, что при решении текстовых задач учащиеся испытывают значительно больше трудностей, чем при решении уравнений и неравенств. Это отчасти объясняется тем, что для решения уравнений, неравенств или их систем можно использовать некоторый набор известных алгоритмов и приемов, так как сама задача уже формализована, математизирована. А для текстовой задачи математическую модель учащийся должен составить самостоятельно. И поэтому эти задачи, в том числе геометрические, о которых пойдет речь, требуют существенно больших логических усилий. Мы коснемся здесь, в основном, задач на вычисление.
Решение более или менее серьезной задачи требует, во-первых, тщательного ее анализа. Учащийся должен ясно осознать, что же ему известно, как связаны между собой данные величины, какие следствия из них можно получить, что необходимо найти в задаче и что требуется для этого знать. Анализ при этом может носить не только однонаправленный характер (от данных величин к искомым или наоборот), но и встречный, когда движение совершается в двух противоположных направлениях.
Трудным моментом является выбор метода, который приведет к решению задачи наикратчайшим путем. Он, как правило, не однозначен и почти каждая задача допускает не одно решение (имеется в виду не результат, а процесс). Рассуждения, используемые для решения, могут быть чисто геометрические или позаимствованные из алгебры или тригонометрии. К сожалению, приходится констатировать слабые знания учащимися простейших утверждений, фактов, формул. Они затрудняются в измерении углов, связанных с окружностью (вписанных, центральных, составленных хордой и касательной, образованных хордами, пересекающимися внутри окружности, или секущими, исходящими из одной точки вне окружности), не знают свойств касательных и секущих, вписанных и описанных многоугольников, теорем синусов и косинусов, связь значений тригонометрических функций с отношениями сторон прямоугольного треугольника. Хорошо известно, что немаловажную роль в решении геометрических задач имеет чертеж. Если он выполнен верно, то поможет в правильном выборе решения, если ошибочен, то может навести на ложный путь. Говоря об этом, мы не призываем к тому, чтобы включать в курс школьной геометрии как можно больше теорем (на все случаи жизни), а предлагаем создавать комплексы задач, сгруппированных по принципу общих идей или методов решения. Решая задачу, следует обращать внимание учащихся на моменты, помогающие правильно выбрать способ решения, прививать вкус к таким задачам, вселять веру в их творческие возможности, развивать логические способности и интуицию.
Приведем примеры задач, которые нам представляются интересными. Первые три задачи используют подобие.
Задача 1. Прямоугольный треугольник АВС с катетами АС=3, ВС=2 вписан в квадрат. Известно, что вершина А совпадает с вершиной квадрата, а вершины В и С лежат на сторонах квадрата, не содержащих точку А. Найти площадь квадрата.
В силу равенства отмеченных углов (рис.1) треугольник ACD подобен треугольнику CBE . Пусть AD=x, тогда DC=. Так как AD2+DC2=AC2, то x2+=9, x2=. Таким образом, площадь квадрата равна .
Задача 2. На сторонах BC и CD квадрата ABCD выбраны соответственно точки E и F так, что 
и К - точка пересечения отрезков BF и AE. Найти отношение КЕ:АК.
Из подобия треугольников (рис.2) AKB, BKE и ABE следует 
. Перемножив равенства 
и 
, получим 
.
Эту задачу можно решить с помощью гомотетии или теоремы Фалеса, но, на наш взгляд, предложенное решение предпочтительнее.
Задача 3. Диаметр окружности с центром О лежит на стороне AD четырехугольника ABCD, при этом АО=ОD. Три остальные стороны АВ, ВС и СD касаются этой окружности. Найти AD, если АВ =а и CD=b.
Пусть в треугольнике АВО (рис.3) Ð
ВАО=a
, Ð
АВО=b
, Ð
ВОА=g
и, следовательно, a
+b
+g
=p
. Так как ВО - биссектриса угла СВА, то Ð
СВО=b
.
Если Р и Q - точки касания, то D APO=D DQO (они прямоугольные, ОР=ОQ, AO=OD) Þ Ð QDO=Ð PAO=a . Сумма углов четырехугольника ABCD равна 2p , поэтому Ð С=2p –2a –2b .
А так как СО - биссектриса, то Ð
DCO=p
–(a
+b
)=g
. Таким образом, треугольники АОВ и DCO подобны и 
. Отсюда получаем равенства АО·
OD=AB·
CD=ab Þ
АО=OD=
и AD=2.
А в следующих двух задачах учащиеся должны вспомнить свойства вписанных и описанных четырехугольников.
Задача 4. На стороне ВС параллелограмма ABCD выбрана такая точка Е, что 
=2. Известно, что трапеция AECD обладает следующими свойствами:
1) в нее можно вписать окружность;
2) около нее можно описать окружность.
Найти величину угла BAD.
В силу свойств, которыми обладает трапеция AECD (рис.4), она равнобокая (АЕ=CD) и 2АЕ=ЕС+AD.
Пусть ВС=3а, тогда BE=2a, EC=a Þ 2AE=EC+AD=4a Þ CD=АЕ=2a.
Таким образом, D BEA - равносторонний Þ Ð ABC=60° Þ Ð BAD=120° .
Далеко не все учащиеся могут доказать, почему трапеция, около которой можно описать окружность, является равнобокой.
Задача 5.Сумма углов при основании ВС трапеции ABCD равна 
. Найти величину 
, если известно, что 
=10 и в трапецию ABCD можно вписать окружность.
Пусть CF|
|
AB (рис.5), тогда CF=AB и в силу условия задачи следует,
что Ð
FCD=
.
По теореме косинусов
FD2=FC2+СD2-2FC·
СDcos
Þ
(AD–BC)2=AB2+СD2– AB·
СD. (1)
Так как в трапецию ABCD можно вписать окружность, то
AD+BC=AB+CD Þ (AD+BC)2=(AB+СD)2. (2)
Разделив равенство (1) на равенство (2), получим
.
Разделив далее числитель и знаменатель левой дроби на произведение AD· BC, а правой части - на AB· СD, получим
.
Откуда, положив 
=t, и учитывая, что 
=10, имеем t=7.
В этой задаче при неудачном выборе решения оно может оказаться очень громоздким.
Весьма поучительно, на наш взгляд, решение следующей задачи.
Задача 6. В прямоугольном треугольнике АВС из вершины прямого угла С проведена биссектриса CL и медиана СМ. Найти площадь треугольника АВС, если LM=a, CM=b.
Пусть АС=х и ВС=у , где х>y (рис.6), тогда х2+у2=4b2, и по свойству биссектрисы 
Þ
LB=
AB=
и, следовательно, ML=MB–LB=b–
=
.
Таким образом, приходим к системе
.
Решая это уравнение относительно ху, находим SD
ABC=
=
.
Следует обратить внимание учащихся на то, что из полученной системы уравнений искать значения переменных х и · у совершенно излишне.
Задача 7. Основание равнобедренного треугольника равно 10 см, проведенная к нему высота - 12 см. Вершины треугольника служат центрами кругов, каждый из которых касается двух других внешним образом. Найти радиусы кругов, которые касаются трех указанных кругов внешним и внутренним образом.
Пусть e, f, d, k, h - точки касания, радиус окружности с центром в точке О1 равен r, а с центром в точке О2 - R (рис.7). Так как AD=5, АВ=13,
то BE=8, BО1=8+r, AО1=5+r, О1D=4–r.
Из прямоугольного треугольника AO1D (5+r)2=25+(4–r)2, 18r=16, r=
.
ВО2=R–8, О2D=12–(R–8)=20–R, О2A=R–5,
и, следовательно, из прямоугольного треугольника АО2D имеем
(R–5)2=(20–R)2+25 Þ
R=
=13
.
Здесь следует напомнить учащимся, что прямая, проходящая через центры двух касающихся окружностей, проходит через точку их касания.
В заключение приведем одну задачу на доказательство, которая требует от учащихся достаточно высокой логической культуры.
Задача 8. Докажите, что треугольник является равнобедренным в том и только в том случае, когда равны биссектрисы двух внутренних углов.
Если в треугольнике АВС (рис.6) АВ=ВС, то углы А и С равны и равны треугольники ВАЕ и ВСD, так как Ð В - общий и Ð ВАЕ=Ð ВСD, следовательно, АЕ=СD.
Докажем справедливость обратного утверждения. Пусть биссектрисы AE и CD углов А и С треугольника АВС равны. Докажем, что Ð
А=Ð
С. SD
АВС=SD
ВАЕ+SD
ЕАС Þ
АВ·
АС·
sinА=АВ·
АЕ·
sin
+АЕ·
АС·
sin
Þ
2·
АВ·
АСcos
=(АВ+АС)АЕ Þ
АЕ=
.
Разделив числитель и знаменатель дроби на произведение АВ· АС и обозначив
АВ=с, АС=b, ВС=a, получим 
, аналогично, биссектриса 
.
Если допустить, что Ð
А¹
Ð
С, например, Ð
А<Ð
С, то сos>cos
и а<c Þ
>
Þ
AE>CD, получили противоречие.
Приведенные в статье задачи предлагались на вступительных экзаменах в различных вузах России, в том числе, в Ярославском госуниверситете.
Литература